RPR: Calculus

Published: by Creative Commons Licence

开始之前，你可能需要看一下有关此系列博客的介绍 RPR: Before All. Introduction 。

微积分/数学分析篇 Calculus/Analysis

开始之前 Before All

所用教材为梅加强《数学分析》。

Ch1 集合与映射

分析基础

  • 可数不可数

    1. 定理：如果 $A$ 和 $B$ 可数，那么他们的笛卡尔乘积也可数。证明使用字典序确定全序，这样对于任意有限元素就一定有有限确定个元素在其之前。
      • 推论：有理数集合 $\mathbb{Q}$ 可数。

  • 数的集合

    1. 如何证明有理数不能铺满数轴？证明无理数的存在

      • 最著名的是如何证明 $\sqrt{2}$ 是无理数，主要用奇偶性质。

      • 更强的是对于任何非完全平方数 $m$，证明 $\sqrt{m}$ 为无理数。

        这个证明很有意思，反证得出相悖于良序公理，具体证明此处不赘述。

  • 界与确界

    1. 确界定理：有上（下）界必有上（下）确界。
      • 代表了实数的完备性，虽然我们还没开始对实数的构造。

  • 映射与函数

    1. 定义在 $A$ 集合上，显示特定元素 $x$ 是否在集合中的函数：特征函数 $\mathcal{X}_ {A}\left(x\right)$

    2. 符号函数 $\mathrm{sgn}:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$，取给定元素符号

    3. 单射 漫射 双射（一一映射）

      • injection, surjection, bijection (one-to-one correspondence)

      • 如何证明对于正奇数 $n$，定义在 $\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ 上的函数 $f\left(x\right)=x^{n}$ 是一个双射。

        • 重点在于找到对应的 $x_ {0}=\sqrt[n]{y_ {0}}$，也就是找集合

          \[\left\{x\in\mathbb{R}\mid x^{n}<y_ {0}\right\}\]

          的上确界。

        • 反证法＋确界定理（如果不相等，则非上确界得出矛盾）。

        • 类似地也可以证明 $\mathbb{R}^{+}\to \mathbb{R}^{+}$ 上的函数 $f\left(x\right)=x^{n}$ 是一个双射（注意此处 $n$ 无限制）。

    4. 复合映射、函数的四则运算引入、初等函数的定义（递归定义，但要大概清楚起始点都是哪些）、鸽笼原理、容斥原理
      • 初等函数的“底”比较容易忘记，其实可以列举为常值函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数。初等函数就定义为这些“底”进行有限次函数四则运算而生成的函数。

实数系的构造

实数系的构造感觉可以称得上分析的精华了，这本书主要介绍的构造方法是戴德金分割（Dedekind Cut），其他的构造方法还有例如康托（Cantor）的基本序列（Cauchy 序列，后文极限部分还会涉及）构造。

此处要注意的点是，我们的核心出发点是从有理数集 $\mathbb{Q}$ 构造实数集 $\mathbb{R}$，也即要构造出一个满足特定性质的代数系统，进而在此基础上构造对其元素的运算方式。在此指导下，首先要指出的就是不同对实数系的构造本质上都是同构的，这一点如果有时间最好实际证明以加深印象。

  • 戴德金分割
    • 利用有理数的无穷集合（名为分割）来构造实数，分割的上确界就是对应的实数元素。
    • 分割如何定义？$\mathbb{Q}$ 的非空真子集，其相对于 $\mathbb{Q}$ 的补集中均为其上界，但是没有最大元。

重要的是定义完成后的一系列任务，我们都有什么任务？

  • 理解好分割集与实数是怎么一一对应起来的。

    • $\sqrt{2}$ 对应的分割集是
    \[\left\{ x\in\mathbb{Q}\mid x^{2}<2\right \}\cup \left \{ x\in\mathbb{Q}\mid x\leq 0 \right \}\]

  • 确定序。

    • 在实数集中这个序需要是全序、线性序。
    • 戴德金分割中可以非常自然地用集合的包含来定义。

  • 证明构造满足确界定理。

    • 证明并集仍为一个分割，几乎从构造中直出（来回倒了一圈）。

    • 实数表示为某个非空子集的上确界。
    • 同时也就是说，这个构造满足实数的完备性。

  • 定义代数系统上的运算并验证运算律。

    • 在戴德金分割中要用集合来定义，基本完全脱胎于公理集合论。
    • 不要忘了验证运算完备性。

这里补充两个书上提及的比较重要的定理。

  • 阿基米德公理（Archimedean Axiom）
    • 设 $0<x\in \mathbb{R}$，则对任意 $y\in\mathbb{R}$，均存在 $n\in\mathbb{N}^{+}$ 使得 $y<nx$。
    • 书上命名为阿基米德原理，我个人感觉是出发点不同，这个性质可以广泛地指抽象代数系统满足的一个公理性质，在这里更多地是从构造出发证明了一个原理。
  • 有理数稠密性
    • $\forall a,b\in\mathbb{R}, \exists c\in \mathbb{Q}, \text{ s.t. }a<c<b$
    • 可以利用上述的阿基米德公理证明，证明很巧妙，这里不赘述了。

最后，我个人是第一次全面地接触实数系构造（之前欠的债hh），感觉确实很精妙，需要注意的是不同的构造方法虽然具体方式不同，但是一系列“操作”应该都是这么下来的，这显示了抽象代数的一个思维惯式。我对不同构造间的同构性证明很感兴趣，但是当下手头还有很多复习等任务，所以暂时搁置，择日再说了（doge）。

Ch2 极限

Nothing Now.